Baris dan Deret Bilangan

Pola Bilangan Jika anggota-anggota suatu himpunan diurutkan menurut suatu aturan tertentu maka akan membentuk suatu barisan bilangan. Perhatikan barisan bilangan berikut ini: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Urutan bilangan-bilangan tersebut adalah sebagai berikut: urutan ke-1 adalah 1 urutan ke-2 adalah 2 urutan ke-3 adalah 3 urutan ke-4 adalah 5 urutan ke-5 adalah 13 urutan ke-6 adalah 21 urutan ke-7 adalah 34 Ternyata nomor urut bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan asli. Oleh karena itu barisan dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah bilangan asli. Anggota-anggota barisan bilangan disebut suku dan dinotasikan dengan U. Keterkaitan bilangan asli dengan anggota-anggota suatu barisan dapat digambarkan sebagai berikut : Un = f(n) artinya bahwa suku-suku barisan bilangan merupakan fungsi dari bilangan asli. Dengan demikian barisan bilangan dapat dinyatakan dengan : U1, U2, U3, U4, ..., Un. Barisan Bilangan Barisan Bilangan Diketahui suatu barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, . Bagaimana pola barisan bilangan tersebut? Nampak bahwa : suku ke-1 = U1 = 1 suku ke-2 = U2 = 4 suku ke-3 = U3 = 9 suku ke-4 = U4 = 16 Jika digambarkan dengan diagram panah, maka diperoleh pola sebagai berikut : Hubungan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B dapat dideskripsikan sebagai kuadrat dari Sehingga dapat dikatakan bahwa barisan tersebut mempunyai suku ke-n Diketahui suatu barisan bilangan : 2, 5, 8, 11,. Bagaimana pola barisan bilangan tersebut? Jika anggota-anggota barisan bilangan tersebut dihubungkan dengan angota domainnya (bilangan asli), maka : Contoh Tentukan tiga suku berikutnya pada barisan-barisan bilangan berikut : 1, 2, 3, 6, 12,. 3, 4, 6, 9, . 3, 5, 7, 9, . 1, 2, 4, 8,. Jawaban : Contoh Tentukan rumus suku ke-n barisan-barisan bilangan berikut : 3, 6, 9, 12, . 8, 6, 4, 2, . 0, 1, 4, 9, 16, . 2, 6, 12, 20,. Jawaban : Deret  Deret Bilangan Jika suku-suku pada suatu barisan dijumlahkan, maka akan diperoleh U1 + U2 + U3 + U4 + ... Penjumlahan suku-suku tersebut dinamakan deret bilangan dan dinotasikan dengan Sn. Jadi Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ...+ Un Contoh Diantara pernyataan berikut, manakah yang disebut barisan, deret, atau bukan kedua-duanya : 9. 2 + 5 + 8 + 11 + ... karena bilangan yang disajikan membentuk pola dan dijumlahkan, maka disebut deret 10. 3 , 7 , 8, 11, .. karena tidak ada pola yang tetap, maka bukan barisan maupun bukan deret 11. 1 , 2, 4, 8, .. karena bilangan-bilangan tersebut mempunyai pola dan tidak dijumlahkan, maka disebut barisan 12. 3 + 5 + 8 + 2 + ..
Aritmatika
Barisan Barisan Jika selisih suku ke-(n+1) dengan suku ke-n bernilai tetap, maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan aritmetika. Sebuah barisan bilangan mempunyai suku pertama a dan selisih yang tetap sebesar b, maka diperoleh barisan aritmetika berikut : dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dapat dinyatakan sebagai fungsi linear : Contoh Manakah diantara barisan bilangan berikut yang merupakan barisan aritmetika : 1. 3 , 5 , 7 , 9 , ... karena selisih antar sukunya tetap, sebesar 2, maka disebut barisan aritmetika 2. 7 , 9 , 12 , 16 , ... karena selisih antar sukunya tidak tetap, maka bukan barisan aritmetika 3. 12 , 9 , 6 , 3 , ... karena selisih antar sukunya tetap, sebesar -3, maka disebut barisan aritmetika Contoh Tentukan tiga suku berikutnya pada barisan aritmetika : 4. 2 , 6 , 10 , 14 , ... Karena beda (b) = 4, maka tiga suku berikutnya adalah 16, 20, 24 5. 10 , 8 , 6 , 4 , ... Karena beda (b) = -2, maka tiga suku berikutnya adalah 2 , 0 , -2 6. 4 , 8 , 12 , 16 , ... Karena beda (b) = 4, maka tiga suku berikutnya adalah 20, 24, 28 Contoh Tentukan suku ke-n barisan aritmetika berikut : . . . 7. 2 , 6 , 10 , 14 ,... 8. 10 , 8 , 6 , 4 , ... 9. 4 , 8 , 12 , 16 , ... suku pertama (a) = 2 dan beda (b) = 4, maka Un = a + (n-1)b = 2 + (n - 1)4 = 4n - 2 suku pertama (a) = 10 dan beda (b) = -2, maka Un = a + (n-1)b = 10 + (n - 1)(-2) = -2n + 12 suku pertama (a) = 4 dan beda (b) = 4, maka Un = a + (n-1)b = 4 + (n - 1)(4) = 4n Contoh Tentukan suku yang yang dikehendaki pada barisan aritmetika berikut : 10. 5 , 7 , 9 , 11 , .. Suku ke-6 suku pertama (a) = 5 dan beda (b) = 2, maka Un = a + (n-1)b = 5 + (n - 1)2 = 2n + 3, maka suku ke-6 = U6 = 15 11. 6 , 10 , 14 , 18 , .. Suku ke-10 suku pertama (a) = 6 dan beda (b) = 4, maka Un = a + (n-1)b = 6 + (n - 1)(4) = 4n + 2, maka suku ke-10 = U10 = 42 12. 10 , 8 , 6 , 4 , .. Suku ke-12 suku pertama (a) = 10 dan beda (b) = -2, maka Un = a + (n-1)b = 10 + (n- 1)(-2) = -2n + 12, maka U12 = -12 Contoh 13. Suku ke berapakah yang bernilai nol pada barisan bilangan 60 , 57 , 54 , .. ? a = 60 dan b = -3 Un = a + (n - 1)b Un = 60 + (n - 1)(-3) Un = -3n + 63 Un = -3n + 63 = 0 n = 21 Jadi suku ke-21 adalah suku yang bernilai nol Contoh 14. Berapa banyaknya bilangan yang habis dibagi 3 antara 1 sampai dengan 100 ? Bilangan yang habis dibagi 3 antara 1 sampai dengan 100 adalah 3 , 6 , 9 , ... , 99 a = 3 dan b = 3 Un = a + (n - 1)b Un = 3 + (n - 1)(3) Un = 3n 99 =  3n n = 33 Jadi banyak bilangan antara 1 sampai dengan 100 yang habis dibagi 3 ada 33 bilangan 15. Jika suku ke-n sebuah barisan aritmetika ditentukan oleh Un = 4n - 8, tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut ! Karena Un = 4n - 8, maka : a = U1 = 4(1) -; 8 = 4 - 8 = -4       U2 = 4(2) - 8 = 8 - 8 = 0 b = U2 - U1    = 0 - (-4) = 4 Jadi suku pertama (a) U1 = -4 dan beda barisan tersebut b = 4. Deret Deret Jika suku-suku pada barisan aritmetika dijumlahkan, maka diperoleh : ( a )+ (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (a + (n-1)b) = Sn U1 + U2 + U3 + U4 + …. + Un = Sn Carl Friedrick Gauss mengenalkan cara menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika : Sn = ( a ) + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (a + [n - 1]b) Sn = (a+[n - 1]b) + (a+[n - 2]b) + (a+[n - 3]b) + (a+[n - 4]b) + …. + ( a ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------- + 2 Sn = (2a+[n-1]b) + (a+[n-1]b) + (a+[n-1]b) + (a+[n-1]b) + …+ (a+[n-1]b) 2 Sn = n.[ (2a+[n-1]b)] Sehingga jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah fungsi kuadrat : Contoh Tentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut : 1. 2 + 6 + 10 + ... 2. 9 + 15 + 21 + ... 3. 12 + 8 + 4 + ... Jawaban Contoh Tentukan jumlah hingga suku pertama tertentu dari deret aritmetika berikut : 4. 2 + 6 + 10 5. 9 + 15 + 21 + …. hingga suku ke-10 6. 12 + 8 + 4 + …. hingga suku ke-100 Jawaban Contoh 7. Jika suku ke-n deret aritmetika ditentukan oleh Un = 4n + 6, tentukan rumus jumlah n suku pertama deret tersebut.
Geometri
Barisan  Barisan Jika rasio (perbandingan) suku ke-(n+1) dengan suku ke-n bernilai tetap, maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan geometri. Sebuah barisan bilangan mempunyai suku pertama a dan rasio yang tetap sebesar r, maka diperoleh barisan geometri berikut : a, ar , ar2 , ar3 , .. ar(n-1)U1 , U2 , U3 , U4 , .. Un dengan demikian, suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponen : Contoh Manakah diantara barisan bilangan berikut yang merupakan barisan geometri : 1. 3 , 6 , 12 , 24 , ...  karena rasio antar sukunya tetap, sebesar 2, maka disebut barisan geometri 2. 1 , 4 , 9 , 16 , ...     karena tidak ada rasio yang tetap antar sukunya, maka bukan barisan geometri 3. 27 , 9 , 3 , 1 ... Contoh Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan geometri berikut : 4. 2 , 6 , 18 , .   Karena rasio (r) = 3, maka tiga suku berikutnya adalah : 54, 162 , 486 5. 4 , 8 , 16 , .    Karena rasio (r) = 2, maka tiga suku berikutnya adalah : 32, 64 , 128 6. 27 , 9 , 3 , .   Contoh Tentukan rumus suku ke-n barisan geometri berikut : 7. 2 , 6 , 18 , . 8. 4 , 8 , 16 , . 9. 27 , 9 , 3 , . Contoh Tentukan suku yang dikendaki pada barisan geometri berikut : 10. 3 , 9 , 27 , .. Suku ke-5 11. 4 , 8 , 16 , .. Suku ke-7 12. 125 , 25 , 5 , .. Suku ke 11  Contoh 13. Tentukan suku pertama dan rasio barisan geometri dengan rumus suku ke-n Un = 3.2n Contoh 14. Berapa banyak suku pada barisan geometri 4 , 8 , 16 , .. , 1024 Deret  Deret Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka diperoleh : ( a ) + ( ar ) + ( ar2 ) + ( ar3 ) + .. + (arn-1) = SnU1 + U2 + U3 + U4 + .. + Un = Sn Rumus jumlah n suku pertama deret geometri diperoleh dengan cara berikut : Sn = ( a ) + ( ar ) + ( ar2 ) + ( ar3 ) + .. + (arn-1) kalikan kedua ruas dengan r, maka : r.Sn = ( ar ) + ( ar2 ) + ( ar3 ) + .. + (arn-1) + (arn) ------------------------------------------------------------------------------ Sn - r.Sn = a + 0 + 0 + 0 + .. + 0 - (arn) (1 - r)Sn = a - arn = a(1 - rn) Jumlah n suku pertama deret geometri dapat dinyatakan dalam fungsi eksponen : Contoh Tentukan jumlah n suku pertama deret geometri berikut : 1. 2 + 6 + 18 + . 2. 4 + 8 + 16 + . 3. 18 + 6 + 2 + .   Contoh Tentukan jumlah hingga suku pertama tertentu dari deret geometri berikut : 4. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 5. 4 + 8 + 16 + .. hingga suku ke-10 6. 18 + 6 + 2 Contoh 7. Tentukan banyaknya suku deret geometri berikut : 6 + 12 + 24 + .. = 12282     Deret Tak Hingga Deret Tak Hingga Jika nilai mutlak rasio deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + .. lebih dari satu, yaitu |r| > 1, maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin membesar nilai suku tersebut. Dapat dikatakan bahwa jika n mendekati bilangan tak hingga, maka suku ke-n pun akan mendekati bilangan tak hingga. Jika suku-sukunya mendekati bilangan tak hingga, maka jumlah suku-sukunya pun akan mendekati bilangan tak hingga. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam notasi matematika berikut : Dengan demikian, untuk n 8, maka jumlah deret geometri tersebut tidak dapat ditentukan. Deret geometri tak hingga dengan |r| > 1 tersebut dinamakan deret geometri divergen. Jika deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + .. mempunyai rasio 0 < |r| < 1, maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin kecil (mendekati nol) nilai sukunya. Jika suku ke-tak hingga mendekati nol, maka jumlah suku-sukunya akan mendekati bilangan tertentu. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam notasi matematika berikut : Sehingga untuk n 8, maka jumlah deret geometri tersebut berupa bilangan tertentu. Deret geometri tak hingga dengan 0 < |r| < 1 tersebut dinamakan deret geometri konvergen. Contoh Diantara deret geometri berikut, mana yang dapat (konvergen) dan mana yang tidak dapat (divergen) ditentukan jumlahnya : 1. 2 + 4 + 8 + ... 2. 16 + 8 + 4 + ... 3. 5 + 25 + 125 + .... Contoh 4. Tentukan jumlah sampai suku tak hingga deret geometri 64 + 32 + 16 + 8 + ..  Contoh 5. Diketahui deret geometri 1 + (x - 2) + (x - 2)2 +(x - 2)3 + .. Tentukan batas-batas nilai x agar deret tersebut konvergen.