Template by:
Free Blog Templates

Jumat, 03 Desember 2010

Persamaan dan Fungsi Kuadrat



Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya sama dengan dua Contoh:
  • Y2+ 4y +1 = 0
  • x2 + 2 ( x + 1) +4 = 0
  • m p2 + (m+1) p + 3p+1 = 0


Peubah atau variabel persamaan kuadrat umumnya adalah x, tetapi variabel tersebut dapat huruf apa saja seperti pada contoh  
Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c =0 , a ‡0
  • x adalah peubah atau variabel
  • a adalah koefisien x2
  • b adalah koefisien x
  • c adalah konstanta  
Persamaan kuadrat yang tidak ditulis dalam bentuk umum ini dikenal dengan nama persamaan tersamar. Untuk memastikan , memudahkan penulisan dan penyelesaian, sebaiknya persamaan tersamar tersebut diubah dalam bentuk umum ini ax2+ bx + c =0 , a ‡ 0 
Contoh:
Ubah ke bentuk umum dan tentukan apakah persamaan berikut ini adalah persamaan kuadrat  
a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 ) = 0        b.  
Jawab:
a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 )=0
  • x4 + 6x2 + 9 –x4 - x - 4 )=0
  • 6x2 + - x + 5=0 , persamaan kuadrat  

b.
------------------------ x 152
15 + 3x3 + 10 x2 = 0, bukan persamaan kuadrat

Akar Persamaan Kuadrat
Akar persamaan kuadrat adalah nilai suatu variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Contoh Tentukan bilangan mana diantara –5, 3 dan 7/2 , yang merupakan akar dari Persamaan kuadrat 2x2 + 3x = 35 

Untuk x = -5, --> 2x2  + 3x = 35 <--> 2(-5)2  + 3(-5) = 35 <--> 50 – 15 = 35,
35 = 35 Benar, jadi x = -5 adalah akar


Untuk x = 3, --> 2x2 + 3x = 35 <--> 2(3)2 + 3(3) = 35 <--> 18 + 9 = 35,
27 = 35 salah,   jadi x= 3 bukan akar

Penyelesaian persamaan kuadrat :
  • Mencari akar persamaan kuadrat adalah menentukan bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
  • Suatu persamaan kuadrat dapat memiliki 2 (dua) akar , satu akar , atau tidak mempunyai akar
  • Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan : Pemfaktoran , Melengkapkan bentuk kuadrat dan menggunakan rumus kuadrat  
Skema bentuk dan penyelesaian persamaan kuadrat


Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dilakukan dengan cara mengubah bentuk umum ax2+ bx+ c=0 menjadi bentuk faktor (x –α) (x -β)=0
Langkah-langkah penyelesaian
  • Ubah ke bentuk faktor (x – α) (x - β)=0
  • Tentukan akar-akarnya dengan (x – α)=0 atau (x - β)=0 , sehingga akar-akarnya x1=α atau x2=β.
Bentuk ini difaktorkan menjadi x (x-m) =0               
Contoh :
Tentukan akar-akar persamaam kuadrat x2 + 6x = 0 ;      
Jawaban:
x2 + 6x = 0
x(x + 6) = 0
x = 0 atau x+ 6 =0
x = 0 atau x = - 6         
Bentuk  ax2 +bx +c = 0
untuk a =1  , x2 +bx +c = 0
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a =1  adalah (x+α) (x+β)=0
x2 + αx + βx +αβ = 0
x2 + (α + β)x +αβ = 0
Perhatikan skema berikut:
Jadi persamaan kuadrat x2 +bx +c = 0 dapat difaktorkan menjadi  (x+α) (x+β)=0
Jika ada bilangan a dan b sehingga (x+α) = b dan  ab= c
Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 –5x –24 =0
Jawaban:
Bentuk Faktor dari x2 –5x –24 =0 adalah:
(x -8) (x+3)=0
(x-8 ) = 0 atau (x+3) = 0
Jadi ,  akar-akarnya adalah  x = 8 atau x= -3
Untuk a ‡ 1
ax2 +bx +c = 0 dapat difaktorkan jika ada bilangan a  dan b sehingga (a+b) = b dan  ab= ac
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a ¹1  adalah a (x+  ) (x+ ) = 0
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 +7x +2 =0
Jawaban
     
(3x +1) (x+2)=0
(3x+1)=0 atau (x+2)=0
Jadi , akar-akarnya adalah  x = -1/3 atau x = -2

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan, hanya persamaan kuadrat yang akarnya rasional saja yang mudah difaktorkan. Persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan dapat diselesaiakn dengan kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.
Persamaan kuadrat dapat diubah kebentuk kuadrat sempurna yaitu x2= p atau (x-m)2 = p
Bentuk  ax2 + c = 0
Langkah-langkah:
  • Ubah ke bentuk x2= p
  • Tentukan akar dengan sifat
Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat  x2 - 9= 0  !
Jawaban:
 
Bentuk  ax2 +bx + c = 0
Langkah-langkah:
  • Ubah ke bentuk kuadrat sempurna (x-m)2= p dengan rumus
  • Tentukan akar menggunakan sifat
Contoh 1:
Tentukan akar persamaan kuadrat x2 + 4x –2 =0 dengan kuadrat sempurna !
Jawaban
Contoh 2:
Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2  + 4x +1 =0 dengan kuadrat sempurna !
Jawaban

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan Rumus Kuadrat
  • Rumus ini juga dikenal dengan nama rumus ABC
  • Dapat digunakan untuk semua bentuk Persamaan Kuadrat
  • Menjadi alternatif terakhir jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan atau terlalu sulit dengan rumus kuadrat sempurna.
Contoh:
Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 –3x –9 =0 dengan rumus ABC !
Jawaban:
Link terkait:
  1. http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_kuadrat
  2. http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch12_quadratic_equations/07_quadratic_formula/formula.htm


Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai D = b –4ac , disebut diskriminan yang artinya pembeda.
Perhatikan skema sifat akar berikut
Contoh 1:
Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
  1. 2x2 + 4x –1 =0
  2. 4x2 + 12x +9 =0
Jawab:
a. 2x2 + 4x –1 =0,
D= b2 – 4ac
D= 42 – 4.2.(-1) = 16 +8
D= 24
Jadi  D>0 , tetapi Bukan Bilangan kuadrat sehingga
akar-akarnya: Real, Berbeda, bilangan Irasional
b. 4x2  +12 4x +9 =0,
D= b2 – 4ac
D= 122 – 4.4.9 = 144-144 = 0
Jadi D=0, sehingga akar-akarynya: Real, kembar, bilangan rasional
Contoh 2:
Tentukan nilai m agar x2 + (m+3)x + 4m-3 =0 mempunyai akar kembar !
Jawab:
a= 1 ,  b= m+3,  c= 4m-3 akar kembar , syarat D=0
D= b2 – 4ac =0
(m+3)2 – 4.1 (4m-3)=0
m2 +6m + 9 – 16m +12 =0
m2 - 10m + 21=0
(m-7 )(m-3) =0
(m-7 )=0 atau (m-3) =0
Jadi, akar-akarnya adalah  m=7 atau m=3

Jumlah dan hasil kali Akar PK
Perhatikan skema berikut


Rumus Tambahan     
Contoh:
Diketahui Persamaan Kuadrat x2 + 4x +5 =0 mempunyai akar x1 dan x2, tentukan nilai
    1. x1 + x22  dan x1 . x2
    2. x1 2 + x22
    3. x 13 + x23
Jawab:

Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat  ax2 +bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi (x- x1 )(x- x2) = 0
sehingga akar-akar x1 dan  x2. dapat ditentukan.
Sebaliknya jika akar-akar x1dan  x2 diketahui maka dapat disusun  suatu persamaan kuadrat dengan mengalikan suku-suku bentuk faktor (x- x1 )(x- x2) = 0
Perhatikan Skema berikut:
Contoh:
Tentukan Persamaan  yang akar-akarnya 2/3 dan –5 !
jawab:

Menyusun Persamaan kuadrat jika jumlah dan hasil kali akar-akarnya Diketahui
Persamaan kuadrat dapat disusun jika jumlah dan hasil kali akar-akarnya diketahui.
Gunakan rumus
X2 - (x1 + x2 )(x1 . x2) = 0

Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –4 dan 7
Jawab:
x1 + x2 = -4 +7 = 3

x1 . x2= -4.7 = -28

Sehingga persamaan kuadratnya  adalah:

X2 - (x1 + x2 )(x1 . x2) = 0
X2 - 3x - 28 = 0
rumus X2 - (x1 + x2 )x + (x1 . x2) = 0 dapat digunakan untuk menentukan suatu persamaan kuadrat baru dari suatu persamaan kuadrat dengan syarat tertentu, dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.
Contoh 2:

Diketahui persamaan kuadrat  x2 –3x + 7 = 0 . tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kalinya
Jawab:
x2 –3x + 7 = 0 akarnya α dan β

(α + β) = , α.β =
Persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 , x1 = 2α dan x2 = 2β

x1 + x2 = 2α + 2β = 2(α+β)= 2.(-3) = -6

x1 . x2  = 2α . 2b = 4α.β= 4.7 = 28
Persamaan kuadrat baru:

X2 - (x1 + x2 )(x1 . x2) = 0
X2 + 6x + 28 = 0


Fungsi Kuadrat

Pengertian

Fungsi kuadrat banyak digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan perubahan variabel yang nilanya naik turun dengan pola simetris. Pada contoh di atas gerakan bola naik mencapai titik puncak dan turun sampai tanah. Waktu yang diperlukan bola untuk naik sampai puncak akan sama dengan waktu bola untuk turun dari puncak ke tanah.
Hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat dapat dinyatakan dalam fungsi. Fungsi kuadrat dalam bentuk umum adalah :
Y = ax2 + bx + c
Gambar fungsi kuadrat adalah parabola dengan ciri-ciri sebagai berikut :
  • Mempunyai sebuah sumbu simetri, sehingga gambarnya selalu semetris terhadap sumbu tersebut
  • Mempunyai sebuah titik balik berjenis maksimum atau minimum  

Fungsi y = ax2
Grafik fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
  1. Mempunayi Sumbu simetri x = 0 atau sumbu y 2.
  2. Mempunyai titik balik , titik O(0,0) atau pusat koordinat 3.
  3. Untuk nilai a > 0 membuka ke atas, untuk a < 0 membuka ke bawah Bentuk umum gambar parabola y = ax2adalah :  
Bentuk umum gambar parabola y = ax2  adalah :

Langkah-langkah menggambar grafik y = ax2
  • Ambil titik bantu misalnya x =2 dan Tentukan nilai y
  • Ambil titik simetris untuk x = -2
  • Gambar sumbu simetri, titik puncak, titik bantu
  • Hubungkan ketiga titik tersebut simstris terhadap sumbu simetri  
Contoh gambar fungsi y = 2x2
  1. Puncak O(0,0)
  2. Sumbu simetri, sumbu y
  3. Titik bantu x = 2 , y = 2.22 = 8, titik bantu1 (2,8) Titik bantu2 (-2,8)  
Fungsi kuadrat y = ax2 mempunyai puncak dan sumbu simetri yang tetap, perubahan nilai a akan menyebakan melebar atau menyempitnya kurva. Makin kecil nilai mutlak a makin lebar kurvanya. Untuk Jelasnya coba buka simulasi 1 Perhatikan contoh berikut : 
Contoh
y = 2x2 diubah menjadi y = - (1/2) x2
Jelaskan perubahan yang terjadi Jawaban
  • Grafik fungsi akan berubah arah membuka sebab tanda a berubah dari plus (+) ke minus(-)
  • Grafik melebar karena nilai mutlak a mengecil 

Fungsi y = ax2 + k
Grafik fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
  1. Mempunayi Sumbu simetri  x = 0 atau sumbu y
  2. Mempunyai titik balik , titik P(0,k)
  3. Untuk nilai a > 0 membuka ke atas, untuk a< 0 membuka ke bawah
Bentuk umum gambar parabola y = ax2 +k adalah :
Langkah-langkah menggambar grafik y = ax2 + k
  • Ambil titik bantu misalnya x = 2 dan Tentukan nilai y
  • Titik bantu2, ambil titik simetris untuk x = -2
  • Gambar sumbu simetri, titik puncak, titik bantu
  • Hubungkan ketiga titik tersebut simstris terhadap sumbu simetri  
Contoh
Gambar fungsi y = 2x2 + 3
  • Puncak O(0,3)
  • Sumbu simetri, sumbu y
  • Titik bantu x = 2 , y = 2.22 + 3 = 11 , titik bantu1 (2,11) titik bantu2 (-2,11)  
Fungsi kuadrat y = ax2 +k mempunyai sumbu simetri yang tetap, perubahan nilai p akan menyebakan menggeser kurva naik atau turun . makin besar nilai k puncaknya makin keatas.
Perhatikan contoh berikut :  

Untuk lebih jelasnya coba buka simulasi 3
Contoh
Fungsi  Y= -2x2 + 4 di ubah menjadi Y= 2x2 – 2
Jelaskan perubahan grafik yang terjadi

Jawaban

  1. Grafik akan berubah arah membuka, dari membuka ke bawah menjadi membuka ke atas
  2. Sumbu simetri tetap
  3. Puncak turun ke bawah

Fungsi y = a(x-p)2
Grafik fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
  1. Mempunyai Sumbu simetri  x = p
  2. Mempunyai titik balik , titik P(p,0)
  3. Untuk nilai a > 0 membuka ke atas, untuk a< 0 membuka ke bawah
Bentuk umum gambar parabola y = a(x-p)2   adalah :
Langkah-langkah menggambar  grafik y = a(x-p)2 Sumbu simetri , x = p
  • Sumbu simetri , x = p
  • Puncak (p,0)
  • Ambil  titik bantu misalnya x = p+2 dan Tentukan nilai y
  • Titik bantu2, ambil titik simetris untuk x = p -2
  • Gambar sumbu simetri, titik puncak, titik bantu
  • Hubungkan ketiga titik tersebut simstris terhadap sumbu simetri
Contoh
Gambar fungsi y = 2(x-3)2 , a =2 , p = 3
  • Sumbu simetri, x = p --> x=3
  • Puncak P(3,0)
  • Titik bantu x = p + 2 , x = 3+2 =5, y= 2(5-3)2 = 8 , titik bantu1 (5,8), titik bantu2 (1,8)
Perubahan nilai p pada Fungsi kuadrat y = a(x-p)2 akan mengubah sumbu simetri dan puncak. Puncak akan bergeser ke kiri dan ke kanan horizontal saja. makin besar nilai p kurva makin kekanan.

Untuk lebih jelasnya coba buka simulasi 3
Contoh :
Diketahui Fungsi Y= -2(x+3)2 jika fungsi tersebut dibalik arah membukanya dan sumbu simetri digeser 5 satuan ke kanan, tentukan fungsi kuadrat yang baru !

Jawab :

Dibalik arah  a =-2 --> a=2
Digeser 5 satuan kekanan , sumbu simetri x = -3  --> x = -3 + 5 =2
a = 2 , p = 2
Y = a(x-p)2
Y = 2(x-2)2

Fungsi y = a(x-p)2 + k
Grafik fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
  • Mempunayi Sumbu simetri  x = p
  • Mempunyai titik balik , titik P(p,k)
  • Untuk nilai a > 0 membuka ke atas, untuk a< 0 membuka ke bawah
Bentuk umum gambar parabola y = a(x-p)2 +k  adalah :
Langkah-langkah menggambar  grafik y = a(x-p)2 +k
  1. Sumbu simetri , x = p
  2. Puncak (p,k)
  3. Ambil  titik bantu misalnya x=p+2 dan Tentukan nilai y
  4. Titik bantu2, ambil titik simetris untuk x= p -2
  5. Hubungkan ketiga titik tersebut simstris terhadap sumbu simetri
Contoh gambar fungsi y = 2(x-3)2 +4 , a = 2 , p = 3, k = 4 
  • Sumbu simetri, x = p --> x = 3  
  • Puncak P(3,4)  
  • Titik bantu x=p + 2 , x= 3+2 =5, y= 2(5-3)2 + 4 = 12 , titik bantu1 (5,12), titik bantu2 (1,12)
 
  
Perubahan nilai p dan k pada Fungsi kuadrat y = a(x-p)2 +k akan mengubah sumbu simetri dan puncak. P akan menggeser sumbu simetri dan puncak dengan arah horizontal/absis sedangkan k akan menggeser Puncak secara vertikal/ordinat . Untuk Jelasnya coba buka simulasi 4
Perhatikan contoh berikut : 
 

Contoh
Diketahui Fungsi Y= (x-5)2 + 8


  • Tentukan puncak dan sumbu simetri fungsi tersebut




  • Tentukan puncak dan sumbu simetri fungsi tersebut jika grafik fungsi tersebut digeser ke kanan 3 m satuan dan keatas 5 satuan




  • Tentukan fungsu kuadrat yang baru
    Jawaban
    1. Puncak P(5,8), sumbu simetri x = 5
    2. Puncak Baru P (5+3, 8+5) --> P(8,13), Sumbu simetri baru x = 5+3 = 8
    3. Fungsi kuadrat baru Y = (x-8)2 + 13




  • Fungsi y = ax2 + bx + c
    Sebagian besar fungsi kuadrat ditulis dalam betuk y = ax2 +bx +c. Salah satu cara untuk menentukan unsur utama fungsi kuadrat yaitu sumbu simetri dan puncak adalah dengan mengubah ke bentuk
    y = a(x-p)2 +k
    dengan rumus  kuadrat sempurna.  a(x2 +bx) = a(x+ ) - a
    Perhatikan skema berikut !
    Untuk mengetahui pengaruh a,b dan c pada grafik y = ax2 +bx +c

    Contoh
    Ubahlah persamaan berikut ke bentuk  y = a(x-p)2 +k !
    1. y = x2 +4x +1   
    2. y = 4x2 +8x +5
    Jawaban
    1.       y = x2 + 4x +1
    y = (x2 + 4x) +1
    y = (x + 2)2 - 4+1
    y = (x + 2)2 – 3
    2.       y = 4x2 + 8x +5
    y = 4(x2 + 2x) + 5
    y = (x +1)2 - 4+5
    y = (x + 2)2  +1

    Contoh
    Diketahui fungsi kuadrat y = 2x2 + 4x +5 , tetukan puncak, sumbu simetri titik Bantu
    Jawab :
    y = 2x2 + 4x +5
    y = 2(x2 + 2x) +5
    y =2 (x +1)2 - 2+5
    y = 2(x +1)2  +3
    p = -1 atau k = 3 , Puncak (p,k ) --> P(-1,3) , Sumbu simetri x = p --> x = -1 ,
    Titik bantu x = k+2, x = -1 +2 = 1, y = 2(1 +1)2  + 3 = 11 ,
    Titik bantu1 ( 1,11) , Titik bantu2 ( -3,11)

    Diskriminan Fungsi Kuadrat
    Diskriminan Fungsi kuadrat
    Posisi kurva fungsi y = ax2 +bx +c  terhadap sumbu x ditentukan oleh diskriminannya D= b2 – 4ac.
    1. D > 0 memotong sumbu x di dua titik berbeda
    2. D = 0 menyinggung sumbu x
    3. D < 0 diluar sumbu x
    Sedangkan arah membuka ditentukan oleh nilai a
    Contoh1
    Tentukan sifat dari kurva fungsi kuadrat y= -2x2 +x +3 !
    Jawaban
    a=-2 , b= 1, c=3
    D= b2 – 4ac.
    D= 12 – 4(-2)3 = - 23.
    D<0, a < 0
    Grafik membuka ke atas dan tidak memotong sumbu x
    Grafik selalu di bawah sumbu x atau definit negatif
    Contoh 2
    Tentukan nilai m agar  y= x2 +(m-2)x + 5-m menyinggung sumbu x !
    Jawaban
    a= 1, b= m-2, c=5-m
    Menyinggung D=0
    b2 – 4ac =0
    (m-2)2 – 4.1.(5-m) =0
    m2 –4m +4 -20 - 4m =0
    mM2 –16=0
    m= ± 4
    Jadi  m=4 atau m=-4

    Menyusun Fungsi Kuadrat
    Penyusunan fungsi kuadrat dapat dikelompokan dalam tiga jenis sesuai titik-titik yang diketahui. Perhatikan skema berikut

    Contoh 1
    Tentukan fungsi kuadrat dari sketsa berikut
    x1 =-1, x2=5
    Y = a(x+1)(x-5) melalui (0,-5)
    -5 =  a(0+1)(0-5)
    a = 1

    Jadi, fungsi kuadratnya adalah 
    y = 1(x+1)(x - 5)
    y = x2  - 4x - 5

    Contoh 2
    Tentukan Fungsi kuadrat yang puncaknya P(-3,6) dan melalui (0,-3) !
    y = a(x-p)2  +k , p=-3, k=6
    y = a(x+3)2  +6 melalui (0,-3)
    -3= a(0+3)2  +6
    a= - 1
    Jadi, fungsi kuadratnya adalah  :
    y = -1(x+3)2  +6
    y = -1(x2+6x + 9)  +6
    y = -x2  - 6x -3

    Contoh 3
    Tentukan fungsi kuadrat yang yang melakui titik (0,1), (1,-2 ) dan (3,-2)
    Bentuk umum y = ax2 +bx +c
    (0,1) --> 1 = 0 +0 +c --> c=1
    (1,-2 ) -->  a +b +c = -2 <--> a+b+1 = -2, <--> a+b = -3,
    (3,-2) --> 9a +3b +c = -2 <--> 9a +3b +1 =-2 <--> 9 a +3b =-3 <--> 3a +b =-1
    a  + b = -3
    3a + b =-1
    ------------- -
    -2a = -2 -->   a = 1
    b = -3 –1 = -4
    a =1, b = -4 , c = 1
    jadi, fungsi kuadratnya adalah  y = x2 -4x +1



    Simulasi

    Simulasi 1

    Simulasi 2

    Simulasi 3

    Simulasi 4

    Simulasi 5

    Tidak ada komentar:

    Poskan Komentar